儀器誤差的微分法和儀器誤差的幾何法與逐步投影法

儀器誤差的分析與計(jì)算

儀器誤差的來源多種多樣，其性質(zhì)也各不相同。為了確定儀器的總精度，需要掌握各類誤差的來源及其規(guī)律，進(jìn)而計(jì)算誤差的大小。儀器誤差的分析一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：尋找儀器誤差源；計(jì)算分析各個(gè)誤差對(duì)儀器精度的影響；各項(xiàng)誤差的合成。其中，*步可以根據(jù)上節(jié)給出的儀器誤差來源逐項(xiàng)分析尋找，第二步的方法在本節(jié)講述，第二步的方法將在下一節(jié)給出。

—、微分法

儀器的輸出和各元件特性參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系如果能用數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)，那么這種關(guān)系式就稱為作用方程式或儀器方程式。若此時(shí)誤差源為上述元件特性參數(shù)或結(jié)構(gòu)參數(shù)則可以對(duì)作用方程式做全微分，進(jìn)行誤差分析與計(jì)算。

例3-2自準(zhǔn)直儀制造誤差分析。

例3-1給出了自準(zhǔn)直儀原理誤差的分析，這是基于各元件參數(shù)理想情況。如果存在制造誤差，哪些零件的誤差會(huì)影響測(cè)角精度呢？由式（3-9)有

這就是自準(zhǔn)直儀的作用方程式。對(duì)式（3-12)進(jìn)行微分，有

式（3-13)兩邊同除以α，得到相對(duì)誤差關(guān)系式

式（3-14)右邊*項(xiàng)是分劃板刻線的相對(duì)誤差，第二項(xiàng)是物鏡焦距的相對(duì)誤差?？梢姕y(cè)角誤差與這兩個(gè)元件的制造誤差有關(guān)；同時(shí)這兩項(xiàng)誤差的貢獻(xiàn)符號(hào)相反，可考慮在制定零件公差時(shí)，一個(gè)給正偏差一個(gè)給負(fù)偏差，使它們對(duì)儀器測(cè)角誤差的影響起到某種程度的抵消作用。

微分法的優(yōu)點(diǎn)是利用微分運(yùn)算解決誤差計(jì)算問題，簡(jiǎn)單快速。其局限性是無法分析不能列入儀器作用方程式的誤差源，如度盤安裝偏心等。此類誤差通常產(chǎn)生于裝配調(diào)整環(huán)節(jié)，與儀器作用方程式無關(guān)。

二、幾何法

利用儀器輸出誤差與局部誤差的幾何關(guān)系，同樣可以進(jìn)行儀器精度分析。具體步驟是，畫出儀器工作過程中某一瞬間的作用原理圖，依據(jù)其中的幾何關(guān)系寫出系統(tǒng)輸出與誤差源的關(guān)系，將誤差代入即可得到儀器誤差。例3-1舉出的自準(zhǔn)直儀的原理誤差即是用幾何法求得的。下面再舉一個(gè)例子。

例3-3度盤安裝偏心所引起的讀數(shù)誤差。

如圖3-3所示，O1是度盤的幾何中心，O是主軸的回轉(zhuǎn)中心，度盤的安裝偏心量為e。當(dāng)主軸的回轉(zhuǎn)角度為α?xí)r，度盤幾何中心從O1移至O2處，這時(shí)讀數(shù)頭的實(shí)際讀數(shù)為度盤從A點(diǎn)到B點(diǎn)弧上刻度對(duì)應(yīng)的角度α+△α，但實(shí)際轉(zhuǎn)角為α，,因此讀數(shù)誤差為△α。為了得到該誤差與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)正弦定理有 式中R為刻度盤刻劃半徑，e為偏心量。利用小角度近似有

而|Sinα|≤1，故度盤安裝偏心引起的zui大讀數(shù)誤差為

與微分法相比，幾何法非常直觀，適用于求解無法列入作用方程式的誤差源引起的儀器輸出誤差。不過，幾何法在分析計(jì)算復(fù)雜機(jī)構(gòu)運(yùn)行誤差時(shí)較為困難。

三、逐步投影法

逐步投影法是幾何法的拓展，適用于機(jī)構(gòu)誤差分析。其基本原理是將主動(dòng)件的原始誤差先投影到其相關(guān)的中間構(gòu)件上，再從該中間構(gòu)件投影到下一個(gè)與其相關(guān)的中間構(gòu)件上，zui終投影到機(jī)構(gòu)從動(dòng)件上，依次求出機(jī)構(gòu)位置誤差。

例3-4平行四邊形機(jī)構(gòu)誤差分析。

圖3-4所示為zui基本的平行四邊形機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)可用于角度及角速度的等值傳遞。當(dāng)與AB與CD桿長(zhǎng)相等時(shí)，AD發(fā)生嚴(yán)格的平移。由于制造或裝配誤差造成AB≠CD，桿長(zhǎng)誤差△α=|a1-a|，因此可用逐步投影法求出從動(dòng)件CD轉(zhuǎn)角誤差△φ=φ1-φ。

由圖3-4可知，△a在AD上的逐步投影值△AD =△acos(90°-φ) =△asinφ。而從動(dòng)件CD轉(zhuǎn)動(dòng)的作用臂是C點(diǎn)到AD的垂直距離CE= CDcosφ1= a1cosφ1≈acosφ。 則從動(dòng)桿CD的轉(zhuǎn)角誤差△φ=△AD/CE，滿足

四、其他方法

誤差分析還有其他方法，如作用線與瞬時(shí)臂法、轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)法、矢量法、經(jīng)驗(yàn)估算法、實(shí)驗(yàn)測(cè)試法等，具體方法參見誤差分析書籍，以下僅給出簡(jiǎn)要介紹。

某些原始誤差對(duì)儀器誤差的影響不能直接求出，例如傳動(dòng)系統(tǒng)的齒輪的周節(jié)誤差、齒形誤差等，這時(shí)需要分析原始誤差作用的中間過程，研究機(jī)構(gòu)傳遞運(yùn)動(dòng)，結(jié)合力和運(yùn)動(dòng)傳遞的作用線與瞬時(shí)臂，求得zui終誤差。這一方法比逐步投影法更深刻地描述誤差的傳遞，在求解空間機(jī)構(gòu)誤差問題時(shí)，具有突出的*之處。

對(duì)于機(jī)構(gòu)誤差分析還可以使用轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)法，即將產(chǎn)生誤差的構(gòu)件看成主動(dòng)件，轉(zhuǎn)換構(gòu)件間的連接方式，并將其他構(gòu)件看成理想件，給出等效機(jī)構(gòu)，即轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)。轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)的形式由誤差性質(zhì)決定，如逐步投影法的例3-4中研究桿長(zhǎng)誤差的影響，可將鉸鏈替換成直線運(yùn)動(dòng)副，如連桿滑塊機(jī)構(gòu)。之后按照轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)的速度方向和位移量，畫出小位移圖，根據(jù)幾何關(guān)系求的輸出誤差。

光學(xué)元件引起光束出射方向變化的精度分析一般比較復(fù)雜，如分析反射鏡和棱鏡的轉(zhuǎn)像作用時(shí)，宜使用矢量法。該方法的主要思路是將光束和光學(xué)元件的特征方向用矢量表示，之后利用矢量形式的折射、反射定律以及棱鏡的作用矩陣進(jìn)行矢量運(yùn)算，分析光束出射方向的誤差。

經(jīng)驗(yàn)估算法和實(shí)驗(yàn)測(cè)試法也是誤差分析中常用的方法。儀器中有許多誤差是無法分析計(jì)算的，但在設(shè)計(jì)階段需要知道其變化范圍，如果這樣的誤差有據(jù)可查，或有前人做過可信的測(cè)試，則可以直接引用。例如估讀誤差一般取分度值的1/10，這是因?yàn)閮x器的刻度間距一 般為1mm左右，人眼的分辨線值大約為0.075mm。對(duì)于一些不能分析計(jì)算而又難以估計(jì)的誤差，通常采用實(shí)驗(yàn)測(cè)試或仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行測(cè)試。